Die wunderbare Welt des Pi

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Sie ist vielleicht die bekannteste und zugleich geheimnisvollste Zahl: die Kreiszahl Pi. Allgegenwärtig in jedem runden oder gebogenen Gegenstand, gibt die Naturkonstante den Mathematikern auch heute noch Rätsel auf. Der 14. März ist “Pi-Day” und feiert diese geheimnisvolle Zahl.

Pi ist irrational, transzendent und – höchstwahrscheinlich – normal. Was aber verbirgt sich hinter diesen seltsamen Begriffen? Was fasziniert…

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Menschen weltweit so an dieser Zahl, dass sie freiwillig Hunderte oder gar Tausende von Dezimalstellen von Pi aus-wendig lernen und rezitieren und sich auf vielen Websites über ihre Pi-Erlebnisse austauschen?

Es geht nicht ohne: Pi – die allgegenwärtige Naturkonstante

Pi ist überall: Wenn wir morgens aufstehen und uns als erstes Kaffee in unsere kreis-runde Tasse gießen, wenn die annähernd kugelförmige Sonne aufgeht und die Erde im Jahresverlauf um sie kreist, wenn die runden Räder von Auto, Straßenbahn oder Bus uns zu unserem Arbeitsplatz befördern – ohne Pi geht da kaum etwas. In jedem runden Gegenstand, aber auch in jeder Schwingung und Welle ist die Naturkonstante Pi enthalten.

Vordergründig beschreibt Pi zunächst einfach nur das Verhältnis vom Umfang eines Kreises zu seinem Durchmesser – das haben wir alle im Mathematikunterricht gelernt. Doch die Bedeutung der Kreiszahl geht weit darüber hinaus: Denn Pi mischt auch in vielen anderen Formeln und physikalischen Grundgesetzen mit. Damit ist sie nahezu unabkömmlich für fast alle Bereiche der Wissenschaft, aber auch des täglichen Lebens: So gäbe es ohne Pi keine Gauß‘sche Glockenkurve, das vielleicht bekannteste Beispiel einer Wahrscheinlichkeitsverteilung. Und selbst die DNA-Doppelhelix, die Basis allen Lebens, spiegelt in ihren Windungen noch die Konstante Pi wider.

Zwischen Science und Fiction

In der Physik könnte man weder die Kreisbewegung noch das Verhalten von Wellen beschreiben und auch die Berechnung der Knicklast, der Belastung, bei der ein Träger oder eine Mauer bricht, wäre ohne Pi unmöglich. In der Welt der kleinsten Teilchen taucht die Kreiszahl bei Superstrings, Wellentheorien und auch in der Heisenberg‘schen Unschärferelation auf. Diese Formel begründet, warum es nicht möglich ist, Eigenschaften von Elektronen oder Photonen zu messen ohne diese dabei zu verändern.

Die Bedeutung von Pi geht so weit, dass die Kreiszahl als eine der „Botschaften der Menschheit“ mit Radioteleskopen ins All gesendet wird. Denn als Naturkonstante ist Pi so grundlegend und universell, dass nach Meinung der Astronomen auch andere, fremde Lebensformen diese Zahl erkennen könnten. In der Fiction griff der Schriftsteller Carl Sagan dieses Motiv auf: In seinem Buch „Contact“, das später mit Jodie Foster verfilmt wurde, ist es diese Zahl, mit der die außerirdische Zivilisation ihre Anleitung zum Bau einer geheimnisvollen Maschine verschlüsselt.

Irrational und transzendent – Die bewiesenen Eigenschaften von Pi

Was ist das Besondere an Pi? Und warum gibt sie den Mathematikern noch immer Rätsel auf? Letztlich sind es vor allem drei Eigenschaften, die die Kreiszahl auszeichnen. Zwei davon sind heute mathematisch bewiesen und damit gesichert.

Pi ist irrational

Eine Eigenheit der Kreiszahl ist ihre Irrationalität. Das bedeutet, dass Pi, im Gegensatz zu den meisten Dezimalzahlen, nicht als Bruch zweier ganzer Zahlen darstellbar ist. Als Konsequenz hören ihre Dezimalstellen nicht irgendwann auf, sondern setzen sich bis ins Unendliche fort. Dass es überhaupt solche Zahlen gibt, entdeckten schon die alten Griechen. Der Legende nach soll der Mathematiker Hippasos von Metapont sogar für diese Entdeckung gestorben sein: Nachdem er festgestellt hatte, dass die Wurzel aus zwei irrational ist, kam es zum Zerwürfnis mit seinem Lehrer Pythagoras. Als er später im Meer ertrank, galt dies als göttliche Strafe für seinen „Frevel“.

Ob es nun stimmt oder nicht – gegen die Erkenntnis, dass es diese seltsamen, unendlich andauernden Zahlen gibt, half das jedenfalls nichts. Euklid veröffentlichte im 4. Jahr-hundert vor Christus den Beweis der Irrationalität von Wurzel aus zwei in seinen „Elementen“, dem bis ins 19. Jahrhundert hinein bekanntesten Lehrbuch der Mathematik. Die Kreiszahl Pi allerdings musste noch bis zum Jahr 1761 warten, bis auch ihre Irrationalität von Johann Heinrich Lambert belegt wurde.

Pi ist transzendent

Auch wenn es so klingt: Transzendenz bedeutet hier nicht, dass Pi in irgendeiner Form esoterisch oder spirituell angehaucht sein könnte. Wenn Mathematiker von Trans-zendenz sprechen, meinen sie Zahlen, die nicht durch bestimmte algebraische Gleich-ungen beschreibbar sind. Oder, wie es der Mathematiker Leonhard Euler 1748 in seinem Lehrbuch formulierte: „Sie überschreiten […] die Wirksamkeit algebraischer Methoden.“

Mathematisch konkreter gesagt: Es gibt kein Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten, das Pi als Nullstelle hat. Salopp übersetzt heißt das im Prinzip nichts anderes als dass eine „Quadratur des Kreises“ unmöglich ist. Bei diesem klassischen Problem der Geometrie geht es darum, dass auf einem gegeben Kreis ein Quadrat mit genau demselben Flächeninhalt konstruiert werden soll.

An dieser Aufgabe versuchten sich seit der Antike immer wieder Mathematiker, aber auch Philosophen und andere mathematische Laien – alle vergeblich. Denn mit Lineal und Zirkel ist eine Lösung dieser auf den ersten Blick so einfach erscheinenden Aufgabe nicht möglich, wie der deutsche Mathematiker Ferdinand von Lindemann 1882 bewies.

Video: Kreisberechnung – Fläche und Umfang mit Pi

Wie normal ist Pi? Rätsel um die dritte Eigenschaft der Kreiszahl

Die dritte große Eigenschaft von Pi gehört zu den bis heute offenen Fragen der Mathe-matik. Es geht um die Normalität. Normal ist eine Zahl im mathematischen Sinne immer dann, wenn alle Ziffern und Ziffernblöcke in ihrer Zahlenfolge in absolut gleicher Häufig-keit auftreten, und dies vollkommen zufällig verteilt. Das heißt, keine der Zahlen von 0 bis 9 darf in den Nachkommastellen von Pi häufiger oder weniger häufig vorkommen als eine andere.

Selbst vermeintlich ausgefallene Zahlengruppen wie 000000 oder 999999 dürfen bei einer normalen Zahl nicht seltener auftreten als 123456 oder 314159. Damit muss theoretisch auch jede beliebige Zahlenkombination, sei es eine Telefonnummer ein Geburtsdatum oder ein in Zahlen übersetzter Satz, irgendwo in Pi enthalten sein. Tatsächlich kommt beispielsweise die Zahlenfolge 01234567890 in den bisher bekannten Nachkommastellen von Pi gleich mehrfach vor, das erste Mal ab der 53.217.681.704.Stelle.

Die ersten Ziffern von Pi, 314159265358, tauchen ebenfalls noch einmal auf, allerdings erst nach der ein billionsten Stelle.

Die Bibel in Pi

Da die Dezimalstellen unendlich weitergehen, wäre es sogar möglich, dass alle überhaupt in irgendeinem Zusammenhang existierenden Zahlen oder auch umgerechneten Buch-stabenkombinationen in Pi enthalten sind. Konsequent zu Ende gedacht heißt das, dass theoretisch sogar alle Texte der Bibel oder die Werke Goethes in codierter Form in Pi zu finden sind. Frei nach dem Prinzip der unendlich lang tippenden Affen, die irgendwann alle Werke Shakespeares durch Zufall erzeugen. Rein mathematisch gesehen ist dieses Theorem längst eindeutig bewiesen – in der Praxis aber wohl kaum nachvollziehbar.

Video: Die magische Welt der Zahlen – Magische Zahlen und ihre Bedeutung

Test der ersten 100 Millionen Dezimalstellen

Ob sich tatsächlich irgendwo in Pi sinnvolle Botschaft verbirgt und ob die Zahlenfolge wirklich überall dem Gesetz der Normalität folgt, weiß bis heute niemand. Im Jahr 2005 untersuchten die Physiker Ephraim Fischbach und Shu-Ju Tu von der amerikanischen Purdue Universität die ersten 100 Millionen Stellen von Pi auf ihre Zufälligkeit. Sie ver-glichen sie zudem mit den Ergebnissen von kommerziell erhältlichen Programmen zur Erzeugung von Zufallszahlen.

Tatsächlich konnten die Forscher kein verborgenes Muster oder eine sonstige Regel-mäßigkeit in den Dezimalstellen der Kreiszahl entdecken. Zwar schnitten einige der Zufallsprogramme etwas besser ab als Pi, das Fazit lautete aber dennoch: Pi ist in jedem Falle eine gute und geeignete Quelle für Zufallszahlen. Bewiesen ist damit die Normalität der Kreiszahl allerdings noch immer nicht.

Vom 96-Eck zum Computerprogramm – Die Geschichte der Pi-Berechnung

Pi – und auch die Suche nach einer möglichst genauen Näherung – ist keineswegs eine Marotte der Neuzeit: Die Bedeutung der Kreiszahl ist schon seit mehr als 4.000 Jahren bekannt. Kein Wunder: Denn auch in den frühen Kulturen kamen die Menschen um diese Zahl nicht herum, wollten sie Fehler bei so alltäglichen Tätigkeiten wie der Bereifung eines Wagenrads oder der Volumenberechnung eines Weinfasses vermeiden.

Mit dem Schnurmaß

Im Nahen Osten zur Zeit des Alten Testaments, aber auch im alten China, begnügte man sich dabei zunächst mit dem Näherungswert 3. In der Bibel, im Buch der Könige, heißt es beispielsweise: „Er fertigte ein kreisrundes Becken an, das von einem zum anderen Rand zehn Ellen maß. […], eine Schnur von 30 Ellen umspannte es.“

Doch schon die Ägypter nahmen es da etwas genauer. Im ältesten erhaltenen Rechenbuch der Welt, dem so genannten Rhind Papyrus, findet sich 3,1605 als Wert für die Kreiszahl. Damit waren sie immerhin schon deutlich präziser als ihre hebräischen Nachbarn. Die Babylonier dagegen nutzten 3 plus ein Achtel, also 3,125 als Kreiszahl, in Indien war es 3,0044. Allen diesen Werten ist jedoch gemeinsam, dass sie auf der Basis von Messungen entstanden.

Zwei 96-eckige Vielecke als Rechenwerkzeug

Die erste rein mathematische Berechnung der Kreiszahl stammt von dem griechischen Mathematiker Archimedes von Syracus, der 287 bis 212 vor Christus lebte. Er näherte sich Pi von zwei Seiten gleichzeitig an: Um einen Kreis konstruierte er ein innenliegendes Vieleck und ein außenliegendes Vieleck und vermehrte ihre Ecken so lange, bis sich beide Formen möglichst eng an die Kreislinie anschmiegten.

Mit 96 Ecken pro Polygon ermittelte Archimedes so einen oberen Grenzwert von 3,1428 und einen unteren von 3.140 – irgendwo dazwischen musste Pi liegen. Noch weiter kam 480 nach Christus der chinesische Mathematiker Zu Chongzhi, der mit dem gleichen Verfahren Pi bereits auf eine Position zwischen 3,1415926 und 3,1415927 einengte.

Der Name Pi

Nachdem die Mathematiker lange Zeit einfach die Methode des Archimedes weiter-geführt hatten, entwickelten verschiedene Gelehrte im 17. Jahrhundert gleich mehrere neue Verfahren der Berechnung. So der englische Mathematiker John Wallis im Jahr 1655, der deutsche Universalgelehrte Gottfried Wilhelm Leibniz im Jahr 1682 und der Mathematiker Leonard Euler. Letzterer kam 1748 in seinem Analysis-Lehrbuch immerhin schon auf 148 Stellen.

Auch die Bezeichnung der Kreiszahl mit dem griechischen Buchstaben Pi geht nicht etwa auf die Griechen zurück, sondern auf den aus Wales stammenden Mathematiker William Jones, der diesen Begriff Pi als Kurzform für Perimeter, Umfang, in seinem 1706 er-schienenen Mathematik-Lehrbuch verwendete.

Durchbruch erst 1996

Alle die bis dahin und auch später noch gebräuchlichen Methoden eigneten sich jedoch noch nicht dazu, schnell und effektiv viele Nachkommastellen der Kreiszahl zu ermitteln. Erst 1996 entwickelten drei Mathematiker, David Bailey, Peter Borwein und Simon Plouffe, eine Summenformel, mit der man eine beliebige Stelle in der Zahlenfolge von Pi ausrechnen konnte, ohne erst alle vorhergehenden Ziffern kalkulieren zu müssen. Auf diese und andere neue Formeln gehen auch die meisten heute gebräuchlichen Computer-programme zur Pi-Kalkulation zurück.

Ein Tag zu Ehren von Pi

Ihren Höhepunkt erreichen die Pi-Aktivitäten alljährlich am 14. März genau eine Minute vor 2 Uhr. Warum? Auch hier ist wieder Zahlenspielerei am Werk: In amerikanischer Schreibweise entsprechen Datum und Uhrzeit der Abfolge 3/14 1:59.

Initiiert hat den Pi-Day der Physiker Larry Shaw im Jahr 1987 am Exploratorium in San Francisco, dem ersten wissenschaftlichen Mitmachmuseum weltweit. Aus seiner Faszi-nation für Rotationsbewegungen aller Art entsprang die Idee, den Tag des Pi durch be-sondere Aktionen wie das feierliche Umkreisen einer Plakette mit den ersten hundert Ziffern von Pi und Vorleseaktionen zu begehen. Inzwischen ist die Idee so etabliert, dass sich weltweit Pi-Fans aber auch Institutionen daran beteiligen. Es gibt Pi-Memorier-Wettbewerbe, Kunstwerke mit Pi-Motiv, Vorleseaktionen an ungewöhnlichen Orten und natürlich auch Vorträge über die mathematischen Besonderheiten der Kreiszahl, aber auch Pi-Kuchen, Pi-Musik, Pi-etc…

Video: Berechnung von Pi mit kleinen runden Kuchen (Pie)

Quellen: PRAVDA TV/ZeitOnline/scinexx.de vom 14.03.2014